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Merry X'mas
Merry X'mas
メリクリ！
サンタさん、着ましたか！？
みんなに、いろいろなものプレゼントしたかってけれど
今年は、スマイルをプレゼントすることにしました。
大人の心をもったひとには、サンタさんが見えないけれど
清きこころをもったひとには、サンタさんの笑顔が見えたと思います。
作者:thaler
更新日:2008年12月24日 13時16分
Ａ～Ｅの数字はいくつ？
ＡＢＣ
× ＤＥ
－－－－
１９９４Ｃ
Ａ～Ｅは、１桁の数字です。
Ａ～Ｅの数字はいくつ？
A～Eは、それぞれ数が異なります。
いい解法があったら、教えてください。
｢あまり賢くない解答」
（１）ABC と DE は、１９９４C の約数です。
（２）1桁の C×E=C に注目すると Ｅ＝１の場合、C=0～9 の10通りが考えられます。
ならば、19940～19949 まで素因数分解してみる。
頭を使わず、ただ計算あるのみ。
19940=22×5×977 20と977 B=C=7 だから 駄目
19941=3×172×23 69と289 C=E=9 だから 駄目
19942=2×132×59 26と118 A=B=1 だから 駄目
19943=72×11×37 77と259 D=E=7 だから 駄目
19944=23×32×277 72と277 駄目
19945=5×3989 駄目
19946=2×9973 駄目
19947=3×61×109 61と327 OK
19948=22×4987 駄目
19949=19949 駄目
上の素数の組み合わせで2桁と3桁に分けましたが、
ほかの組み合わせもありますが、A～Eの数字が異なる条件を満たしません。
したがって、A=3,B=2,C=7,D=6,E=1 となります。
作者:thaler
更新日:2008年12月7日 18時13分
比較優位
太郎君と花子さんが、無人島に漂着しました。
太郎君は、１日に魚を１０匹、あるいは１日にヤシの実を８個とります。
一方、花子さんは、１日に魚を４匹、あるいは１日にヤシの実を６個とります。
太郎君と花子さんは、どうすれば効率よく生活ができるでしょうか？
（１）太郎君は、花子さんより効率よく魚やヤシの実を収穫できます。
そこで、太郎君が魚を、花子さんがヤシの実を収穫するのも１つの手段です。
（２）種あかしをすると、
イギリスの経済学者リカードというひとの
「経済学および課税の原理」のなかの「比較優位」という理論のお話です。
比較優位とは、人間のあいだの優位性のことです。
ポイントは、太郎君は花子さんより、
魚もヤシの実も多く収穫します。
そして、どちらかといえば、ヤシの実より魚獲りのほうが、得意です。
このことを、「比較優位」といいます。
リカードの本の中では、太郎君がイギリスで、花子さんがポルトガルとなり、
魚は、毛織物で、ヤシの実は、ワインとなっています。
（３）さらに、リカードの理論は、生産するのに労働時間が
そのものの価値を決めるという「労働価値説」にもとづいています。
イギリスでは、毛織物を１つ作るのに１００時間、労働者が働かなければいけませんが、
ポルトガルでは、それと同じものを９０時間で生産できる。
というわけだから、イギリス製の毛織物のほうが
ポルトガル製の毛織物より価格が高くなります。
したがって、イギリスの毛織物は、ポルトガルの毛織物に負けるというわけです。
（４）つぎに、労働時間に人件費の単価をかけて考えるとイギリスの敗北は明らかになります。
そこで、イギリスは、ポルトガルの生産できない製品に移行することになります。
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 18時15分
JAZZ☆CANDY
- アーティスト: JAZZ☆CANDY from 蓼科高校ジャズクラブ
- 出版社/メーカー: TOY'S FACTORY Inc.(VAP)(M)
- 発売日: 2007/10/24
- メディア: CD
JAZZ☆CANDY>>http://www.myspace.com/jazzcandy1999
蓼科高校ジャズクラブ創立は1999年。
4名の生徒が入部したのをきっかけとして活動が開始。
2年目からはビッグバンドという形でジャズにこだわって活動。
現在は、女子を中心としたメンバーで、20人を超える現役高校生と
20名ほどの蓼科高校を卒業したジャズクラブOGにて活動を展開しています。
2004年、映画「スウィングガールズ」のモデルにもなり、
2008年3月、ワシントンD．C．で「全米桜まつり」のオープニングコンサートが実現しました。
- アーティスト: JAZZ☆CANDY from 蓼科高校ジャズクラブ
- 出版社/メーカー: TOY'S FACTORY Inc.(VAP)(M)
- 発売日: 2008/06/25
- メディア: CD
- 出版社/メーカー: 東宝
- メディア: DVD
- 出版社/メーカー: 東宝
- メディア: DVD
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 18時11分
「ビュフォンの問題」
規則正しく平行線が引かれた床に、１本の針を無作為に落としました。
針は、どの割れ目にもひかからないでしょうか。
「実験してみよう」
１０ｃｍ間隔の平行線に、長さ１０ｃｍの針を、無作為に１００回投げてみます。
すると針と線が交差したのは６６回で、
残りの３４回は、交差しなかった。
したがって、２/３の確率で交差するようである。
エミール・バルビス（１８３９－１８８９）は、ビュフォンの問題を
好きな形、好きな長さの針を投げたとき
平行線との交点の数は、どれくらいになるか。と一般化しました。
たとえば、Ｚ型の針の場合、交点として、０，１，２，３が考えられます。
「実験してみよう」
２０回投げて、
０が３回、１が６回、２が１１回、３が０回でした。
１回当たりの交点の平均は
（３×０＋６×１＋１１×２＋０×３）/２０＝２８/２０＝１．４０
「実験結果」
形 長さ 平均交点 １０ｃｍ当たりの平均交点
直線 １０ｃｍ ０．６６ ０．６６
直線 ２０ｃｍ １．４０ ０．７０
Ｖ字型 ２０ｃｍ １．３０ ０．６５
Ｚ字型 １０ｃｍ ０．６５ ０．６５
正方形 ２０ｃｍ １．３０ ０．６５
長さの違いは、交点の数に影響するようであるが
形は影響しないようである。
そして、１０ｃｍ当たりの平均交点の数は２/３に落ち着きそうである。
この問題は、従来の離散的に表されていた確率論を
針が平行線に対する数値で表されることによって、連続的に表示が可能となりました。
もう一点は、幾何学と確率論を組み合わせることによって
「幾何学的確率」という分野を開拓した点に大きな意義があります。
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 18時11分
「確率統計のランダムウォーク」 テニスの試合？
あっちゃんとゆいちゃんが、テニスをしました。
今日は、テニスクラブに練習試合です。
ふたりとも、３歳からテニスを習って、レベルは互角です。
あっちゃんがポイントをとれば、すかさず、ゆいちゃんがポイントをとります。
いったい、いつ、決着が着くのでしょうか？
「考え方」
ポイントが両者3点（40）ずつになるとデュースとなり、
相手に2点差をつけるとそのゲームを得ることができます。
デュースになった以後、２点取らなければなりません。
ここでは、あっちゃんもゆいちゃんも互角だとします。
ＡＡ｜→Ａの勝ち
ＡＹ｜→続く
ＹＡ｜→続く
ＹＹ｜→Ｙの勝ち
の４通りが考えることができます。
ＡＡは、Ａがゲームをとります。その確率は、１/４です。
同様に、ＹＹはＹがゲームをとることになるます。その確率は、１/４です。
よって、ＡＡ，ＹＹになる確率は２/４＝１/２となります。
しかし、ＡＹ，ＹＡはゲームが続きます。
ＡＹ｜ＡＡ｜→Ａの勝ち
ＡＹ｜ＡＹ｜→続く
ＡＹ｜ＹＡ｜→続く
ＡＹ｜ＹＹ｜→Ｙの勝ち
ＹＡ｜ＡＡ｜→Ａの勝ち
ＹＡ｜ＡＹ｜→続く
ＹＡ｜ＹＡ｜→続く
ＹＡ｜ＹＹ｜→Ｙの勝ち
たとえば、１０００ゲームすると、５００ゲームが２ポイントで勝負がつくことになります。
残りの５００ゲームは、２つのペアが、ＡとＹをふくむときゲームは続くことになります。
しかし、次のゲームで、１/２の２５０ゲームが勝負がつきます。
最初のゲームにＡとＹがあるのは、１/２
つぎのゲームにＡとＹがあるのは、（１/２）×（１/２）＝１/４
さらに、ＡとＹがあるのは、（１/２）×（１/２）×（１/２）＝１/８
とすると、勝負がつく確率は１/２，１/４、１/８，１/１６と推論できます。
そこから、ゲームの数は
Ｓn＝（１/２）×２＋（１/４）×４＋（１/８）×６＋（１/１６）×８＋（１/３２）×１０＋…
Ｓn/２＝（１/２）×１＋（１/４）×２＋（１/８）×３＋（１/１６）×４＋（１/３２）×５＋… （１）
ここで、
（１/２）＋（１/４）＋（１/８）＋（１/１６）＋（１/３２）＋…＝１ （２）
（１/４）＋（１/８）＋（１/１６）＋（１/３２）＋…＝１/２
（１/８）＋（１/１６）＋（１/３２）＋…＝１/４
（１/１６）＋（１/３２）＋…＝１/８
これらの和を求めると
（１/２）×１＋（１/４）×２＋（１/８）×３＋（１/１６）×４＋（１/３２）×５＋…
＝１＋（１/２）＋（１/４）＋（１/８）＋（１/１６）＋…
式（２）より
（１/２）×１＋（１/４）×２＋（１/８）×３＋（１/１６）×４＋（１/３２）×５＋…
＝１＋１
＝２ （３）
式（１）で、Ｓn/２ を求めたから 式（３）を２倍して
（１/２）×２＋（１/４）×４＋（１/８）×６＋（１/１６）×８＋（１/３２）×１０＋…＝４
となります。
理論的には、デュースから４回であっちゃんとゆいちゃんのテニスの勝負がつきます。
なぜ、式（２）が１になるかは、初項を１/２、項比を１/２とする等比級数の和から求めることができますが、ちょっと１×１の正方形を考えてみてください。
最初の項は、正方形のちょうど半分を表しています。次の項は、残った四角形の半分を意味します。そして、続くこうは、その残りの半分を意味します。
したがって、式（２）は、１×１の正方形を表していることになります。
「確率統計のランダムウォーク」
ここで用いた手法は、確率統計論のランダムウォークという手法です。
互角の選手のテニスで説明しましたが、
疫学、株式市場や人口変動の研究に応用されています。
図を使って説明すると、２とー２の平行線があります。
２－－－－－－－－－－－－－－－－
｜
１
｜
Ｓ－－１－－２－－３－－４－－５－－６
｜
－１
｜
－２－－－－－－－－－－－－－－－－
Ｓから出発して、１つのポイントごとに右へ１目盛移動するとともに
勝つと上へ１目盛上がり、負けると下へ１目盛下がります。
「コンピュータで予測」
１００００ゲームやってみて、あっちゃんが勝ったのが５１８７ゲーム、負けたのが４８１３ゲームでした。
２ポイントで、勝負がついたのは０．５でした。
４ポイントで、勝負がついたのは０．２５でした。
６ポイントで、勝負がついたのは０．１２５でした。
このことから、
（１/２）×２＋（１/４）×４＋（１/８）×６＋（１/１６）×８＋（１/３２）×１０＋…＝４
が、正しいことが予想されます。
この問題は３００年ほど前に取り上げられたものです。
たとえば、ＡとＢが、それぞれ２枚づつコインを持っています。
賭ける前に、それそれコインを１枚テーブルに置きます。
勝負に勝ったほうが、テーブルの上のコインを手にすることができます。
この場合も、４回の賭けでＡかＢのどちらかが、すべてのコインを手にできます。
「テニスて？ 手にす」
テニスの起源は、紀元前にエジプトで、このような球技が行われていました。紀元前15世紀の壁画に、球を打ち合う人々の姿が描かれたものが発見されています。
エジプトの球技は、古代ローマ帝国にもレクリエーションの1種類として引き継がれたましたが、
現在のテニスの直接の祖先に当たる球技は、8世紀ごろにフランスで発生し、16世紀以降、フランス貴族の遊戯として定着をはじめたそうです。
「テニス」とは「テネ」（受け取れ、という意味）に由来します。
中世では、現代のようなラケットは使わず、手のひらでボールを打ち合っていました。
ラケットは、アラビア語の手のひらに由来するそうです。
日本でも、昭和３０，４０年頃、子供たちが四角いコートを地面に描いて
ゴムでできた柔らかいボールを手で打ち合っていました。
中世のテニスは、サーブは一方の側からのみ行われ、傾斜した屋根を転がるように打ち上げます。
レシーブ側のプレイヤーは、落ちてきたボールが二度バウンドする前に打ち返します。
失敗したプレイヤーはポイントを失うというゲームでした。。
ゲームの最初の第一球の打ち込みが「サーブ」と呼ばれるのは、レシーバーの従者が第一球を屋根に打ち上げるていたことに由来します。（従者「サーバント」が主人に対して行う行為は「サービス」）
近代のテニスは、イギリスではロイヤルテニス (Royal Tennis)、アメリカではコートテニス (Court Tennis) とも呼ばれています。
1877年、ロンドンで、アマチュアの大会として第1回目のウィンブルドン選手権が開催されました。
全米オープンは、1881年に最初に開催されたそうです。
「テニスのルールは？」
得点は、0点＝ラブ (love)、1点＝フィフティーン (fifteen, 15)、2点＝サーティ (thirty, 30)、3点＝フォーティ (forty, 40) と数えます。一方が4点を取ると1ゲーム、6ゲーム取ると1セット取得できます。
5セットマッチなら、3セット先取すると勝ちです。
ポイントが両者3点（40）ずつになるとデュース（フォーティオールとは言わない）となり、相手に2点差をつけるとそのゲームを得ます。
なお、この時に1点リードしている状態を｢アドバンテージ｣と言いいますが、ゲームカウントが 5-5 になると、そのセットを得るためには2ゲーム差をつけて 7-5 としなければなりません。
ただし、ゲームカウントが6-6となった場合は、次のゲームはタイブレークという特別ルールのゲームとなり、2ポイント以上の差をつけて7点以上先取したほうが取得し、このセットを得ます。
タイブレーク中のポイントは、普通にワン、ツー、スリー････と数えます。
しかし、国際大会の最終セットでは、タイブレークのルールを採用せず、2ゲーム差が付くまで通常ルールでゲームを続行します。
デュース(Deuce) とは、「両プレイヤーは同点」 (to both is the game、the two players have equal scores) を意味するフランス語です。
ラブ (love)とは、卵を意味するフランス語、「l'oeuf」に由来します。
ゼロの記号「0」が卵形をしていることから使われたそうです。
「15」「30」「40」というスコアの数え方は、当初は、0、15、30、45であったものの、45の5が省略されるようになったものだそうです。
なお、フランス語では「15」、「30」、「40」は「quinze」、「trente」、「quarante」であり、全仏オープン等で聞くことができます。
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 18時10分
パスカルの確率
Ａ，Ｂがそれぞれ３２コインを出す。
１回の勝負で勝つごとに１ポイントを獲得する。
そして、３ポイント先取した者が、それぞれ出し合った６４コインをもらう。
ところが、Ａが２ポイント、Ｂが１ポイント獲得した時点で
勝負を中止しなければならなくなった。
コインをどのように、分配すればよいか？
確率論は、フランスの数学者パスカルとフェルマーとの文通から生まれたといわれています。
その内容を問題にしてみました。もっとも、この内容はパスカルが考えたものではなく
パスカルの友人ド・メレから相談を持ちかけられたものが、きっかけのようです。
「考え方」
（１）もし，次の勝負で、Ａが勝てば、３ポイント先取したことになるので、
Ａの勝ちで、６４コインもらうことになります。
（２）もし、次の勝負で、Ａが負ければ、Ａは２ポイント、Ｂは２ポイントで同点になります。
この時点で勝負を止めるならば、Ａ、Ｂともに３２コインもらうのが公平です。
そのことを前提に、Ａは、Ｂにたいして、
次の勝負で、Ａが勝てば６４コイン、負ければ３２コインもらえるのだから
どちらにしても、Ａは、Ｂに３２コインくれと言いました。
そして、次の勝負で、Ａが負ければ残りの３２コインはＢのものだ。
Ａが勝つ確率は１/２、負ける確率も１/２だから
Ａは、残りの３２コインのうち半分の１６コインをくれ、
Ｂ，君には残りの３２コインのうちの半分の１６コインをやる。
したがって、Ａは、３２コイン＋１６コイン＝４８コイン
Ｂは、１６コインに分配するのが公平である。
「パスカル」
パスカルは、「人間は考える葦である」という言葉で知られています。
そのことは、人間は自然の中では小な生き物にすぎないが、
考えることによって宇宙を超える、ということを意味しています。
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 18時9分
ドミノ・ピザがこの冬お勧めするチーズリストランテがmixiとのタイアップ企画を展開中！！
ドミノ・ピザ×mixiタイアップWebサイト
ドミノ・ピザが
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なんでも、ダイアリーに書き込んじゃおう！！
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ドミノ・ピザ×mixiタイアップWebサイトはこちら
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ここではちょっとだけ
タイアップサイトの気になる内容をご紹介します。
【フードコーディネーターによるドミノ・ピザ紹介ブログ】
お料理雑誌やラジオなどで活躍するフードコーディネーター浜田峰子さんが、
チーズリストランテの開発秘話や、ピザの楽しみ方をブログでご紹介！
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皆でドミノ・ピザの話題や日々の出来事を書き込めるコミュニティ掲示板もご用意！
この冬、コミュニティ掲示板で楽しく盛り上がろう！！
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※掲示板、コンテストの投稿にはmixiIDの取得、及びmixiへのログインが必要となります。
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<ずわいがに×カマンベールチーズ>
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トロ～リ濃厚なカマンベールチーズをプラスして爽やかなトマトクリームソースで仕上げました。
詳細はこちらから>>http://www.dominos.jp/topics/081027_a.html
「プレスブログからの情報です」
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 12時57分
『日経就職ナビ2010 』
こんなCMがあること知ってますか？
『日経就職ナビ2010 』のCM！
アメリカの景気後退により、世界経済が冷え込んでいます。
日本では、円高の影響で輸出産業が打撃をうけています。
グローバル化したいま、日本企業は、世界の各地域で生産を行い。
在庫を抱えないように、生産調整しています。
しかし、売買の決算が米ドルのため利益が減少しています。
そのような、厳しい経済状態の中
１０年前の就職氷河期の再来です。
その氷河期を乗り切るには、実力をつけることです。
そんな、あなたを応援する『日経就職ナビ2010』！
ぜひ、活用してみてください。
就職情報サイト『日経就職ナビ2010』とは、
これから就職活動を行う学生を応援する就職情報が満載のサイトです。
学生が本気で誇れる就職をバックアップするサイト、「日経就職ナビ2010」が、新しく生まれ変わりました。
【日経就職ナビの理念】
学生一人ひとりに「本気で誇れる就職」をしてほしい。
しかし、「楽しそうな仕事」や「有名な企業」は見つけられても、
「本気で誇れる仕事」は、どうすれば見つけられるのでしょうか。
その答えは、きっと一つではありません。すぐに分かるものでもありません。
就職活動して、内定して、入社して、働いて。その先に、やっと見つかるものなのかもしれません。
企業名ではなく「自分自身」に胸を張れる仕事、自分自身にとって本気で誇れる就職を見つけて下さい。
「プレスブログからの情報です」
作者:thaler
更新日:2008年11月23日 12時26分
ハローウィン
コメント返しが遅れてすいません (・0・)m
今週中には、訪問する予定です。
さて、HALLOWEEN
もともとは、イギリスの先住民ケルト人の風習であったそうですが。
いまでは、子供の行事になっているようです。
でも、このごろ物騒な事件が続いています。
母親が、子供を殺す。悲しいことだと思います。
アメリカでは、ハローウィンからクリスマスまで
パティーが続きます。
しかし、今年は不況の影響を受けて
プレゼンの買い控え、プライスダウン、になるんじゃないでしょうか。
為替相場は、円高。
円高というより、ドルの下落。
世界の標準通貨が下落したため
その波紋は、どこまで広がるのでしょうか？
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時31分
五角星と黄金分割
古代の人々は、正五角形は星をあらわす聖なる図形として崇拝していました。
五角星（Pentagram)は、この正五角形の５本の対角線からえられる図形です。
五角星には、多くの二等辺三角形があります。
図のような五角星について、
AB＝AE≡a, PA=PB≡x とすると
正五角形ABCDEの１つの対角線BEと頂点Aからできる二等辺三角形△ABEを考えます。
頂点Aの外角の大きさは
360°/5=72°
α≡36°
5α=180°、 ∠ABE=∠AEB=α、 ∠BAE=３α
対角線ACがBEと交わる点をPとすると
∠BAP=α、 ∠APB=3α
△PABは、二等辺三角形となり
PA=PB、 ∠APE=∠PAE=2α
ゆえに、△EAPは、二等辺三角形となり
AE=PE
したがって、
△AEB∽△PAB
そのなかにある小さな二等辺三角形△PBAは相似となり、
つぎの比例関係が成り立ちます。
BE:BA=BA:BP より
(a+x):a=a:x
このときの、線分BPは線分BEを黄金分割するといいます。
(a+x)/a=a/x
x2+ax-a2=0
x=a(√5-1)/2
この黄金分割は、五角星の神秘を象徴するものとされ、
ピタゴラス学派の中心的テーマとなりました。
正十二面体は、１２の正五角形をもつ星として
ピタゴラス学派の象徴とされていました。
ピタゴラスの時代から２０００年たった１７世紀、
ケプラーは、「幾何学には２つの宝石をもっている。
１つは、ピタゴラスの定理であり、もう１つは、黄金分割である。
ピタゴラスの定理を黄金のたとえれば、
黄金分割は、宝石であろう。」という文章をのこしている。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時31分
円に内接する正五角形
円Oの直交する２つの直径AB,CDをとり。
半径COの中点をEとし、Eを中心として、半径EAの円を描きます。
半径ODとの交点をFとします。
Aを中心として、半径AFの円を描き、円Oとの交点をPとすれば
APは円Oに内接する正五角形の１辺となります。
円Oの半径を１とします。
EO=1/2, EF=EA=√５/2, OF=(√5-1)/2
AP=AF=[1+{(√5-1)/2}2]=(10-2√5)0.5/2
APの中点をMとすれば
AM=AP/2=(10-2√5)0.5/4
OM=(OA2-AM2)0.5
=[1-{(10-2√5)/4}2]0.5
=(6+2√5)0.5/4
=(√5+1)/4
OMをOMの長さだけ延長した点をNとすれば
△AONは二等辺三角形となる。
AO=AN, ON=1OM=(√5+1)/2
AO:ON=1:(√5+1)/2=2/(√5+1)=(√5-1)/2
AO:ONは黄金分割となり、∠AOM=36°、 ∠AOP=72°
したがって
APは、円に内接する正五角形の１辺になります。
Q.E.D.
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時25分
サリノンの定理
サリノンとは、塩を入れる容器のことです。
与えられた線分AB上に２つの点C,Dを
AC=BD となるようにとり、AB,AC,CD,DBを直径とする4つの半円を描く
１番大きい半円ABから２つの半円AC,DBを切り取り、
半円CDを足した「サリノン」の形をした図形ACFDBEAについて
図形ACFDBEAの面積は、半円AB,CDにE,Fで接する円の面積に等しい。
a=AB, b=AC=DB, c=CD とおきます。
c=a-2b, EF=(a/2)+(c/2)=a-b
「サリノン」ACFDBEAの面積Sは、
S=(π/2)(a/2)2-2(π/2)(b/2)2+(π/2)(c/2)2
=(π/2){(a/2)2-2(b/2)2+((a/2)-b)2}
=π{(a/2)2-2(a/2)(b/2)+(b/2)2}
＝π{(a-b)/2}2
一方、円EFの面積Tは、
T=π{(a-b)/2}2
したがって
S=T
Q.E.D
「アルベロス」の定理と「サリノン」の定理は、アルキメデスの「レンマの本」に記述されています。
この本の原本は、消失していて、アラビア語に訳され、それをラテン語に訳したものしか現存しません。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時25分
「アルベロスの定理」
与えられた線分AB上に点Cをとり、
AB,AC,BCを直径とする3つの円を描く。
一番大きい半円ABから2つの小さな半円AC,BCをを切り取る。
残った「アルベロス」の形をした図形ACBDAを作る。
また、Cで直線ABに立てた垂線が半円ABとの交点をDとする。
CDを直径とする円を描く。
このとき、「アルベロス」ACBDAの面積はCDを直径とする円の面積に等しい。
直径ABに対する円周角∠ADBは90°だから
△ABDは直角三角形となり、a=AC,b=BC,c=CDとおけば
ab=c2 (1)
AB,AC,BCを直径とする半円の面積は
(π/2){(a+b)/2}2, (π/2)(a/2）2, (π/2)(b/2）2
となるから、、「アルベロス」ACBDAの面積Sは
S=(π/2){(a+b)/2}2-(π/2)(a/2）2-(π/2)(b/2）2=πab/4 (2)
一方、CDを直径とする円の面積Tは、
T=π(c/2)2 (3)
(1)より、S=T
Q.E.D
「アルベロスの定理」は、アルキメデスの定理の１つです。
「アルベロス」とは、靴を作るときに革を切るギリシアのナイフのことです。
図形の青斜線で表した形が、そのナイフの形に似ていることから
アルキメデスが、名づけました。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時24分
アルキメデスの折れた弦の定理
アルキメデスの「レマンの本」のなかに「折れた弦」の定理もあります。
円Oの円周上に折れた弦ABCがあります。
弦ABの長さは弦BCより短いものとします。
弧ABCの中点をMとして、Mから弦BCに下ろした垂線の足をDとします。
Dは、折れた弦ABCの中点となります。
弦BCをBをこえて延長し、DがECの中点になるように点Eをとります。
ED=DC
△MECは、二等辺三角形になり
∠MAB=∠MCD≡β
△MBEと△MBAについて、∠MAB,∠MCDはともに弧MBの円周角だから
∠MAB=∠MCD=β
一方、∠MBC,∠MACは、弧MCの円周角だから
∠MBC=∠MAC≡α
このとき
∠BME=∠MBC-∠MED=α-β
∠BMA,∠BCAは弧ABの円周角だから
∠BMA=∠BCA=∠MCA-∠MCB=∠MCA-β
ところで、Mは弧ABCの中点だから
∠MCA=∠MAC=α
ゆえに
∠BMA=α-β
△MBE,△MBAについて、
１辺BMは共通、∠MEB=∠MAB=β、∠BME=∠BMA=α-β より
∠MBE=∠MBA
したがって
△MBE≡△MBAより、EB=AB
AB+PBD=EB+BD=ED=DC
Q.E.D.
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時23分
「円周角の定理」
円周上にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４点があります。
∠ＡＢＤと∠ＡＣＤの関係は？
問題の題意を図に表すと（１）のようになります。
しかし、問題は円周上といっているだけだから、
このように思い込んではいけません。
弧ＡＤを固定して、点Ｂをいろいろ動かしてみました。
なお、弧ＡＤが直径の場合、それより大きい場合の説明は
ここでは、省略します。
（２）点Ｃが弧ＡＤ内にあり場合、円の中心角の定理で説明しました。
つまり、円の中心をＯとします。
∠ＡＯＤ＝２∠ＡＢＤ
＝２∠ＡＣＤ
よって、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ となります。
（３）点Ｃが、弧ＡＤ内にない場合。
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ－∠ＡＯＣ ①
ＯＢ＝ＯＤ＝rより
∠ＣＯＢ＝ＯＢＤ＋∠ＯＤＢ＝２∠ＯＢＤ ②
同様に、ＯＢ＝ＯＡ＝rより
∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ
ゆえに、∠ＡＯＣ＝＝∠ＯＢＡ＋∠ＯＡＢ＝２∠ＯＢＡ ③
①②③より
∠ＡＯＤ＝２（ＯＢＤ－∠ＯＢＡ）＝２∠ＡＢＤ
ゆえに、∠ＡＯＤ＝２∠ＡＢＤ
よって、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ となります。
（４）点Ｃが、Ａと重なる場合、
②のＣをＡにすればよいから
∠ＡＯＤ＝２∠ＯＢＤ＝２∠ＡＢＤ
点Ｃが、Ｄと重なる場合も同様である。
すなわち、弧ＡＢに円周角は等しい
したがって、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤといえます。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時22分
「円の中心角の定理」
中点をＯとする円があります。その円周上にＡ、Ｂ、Ｃの３点があります。
∠ＡＯＣと∠ＡＢＣは、どのような関係にありますか？
三角形ＯＣＡについて、線分ＯＣ，線分ＯＡは、円Ｏの半径だから
ＯＣ＝ＯＡ＝r
よって、三角形ＯＣＡは、２等辺三角形だから
∠ＯＣＡ＝∠ＯＡＣ
∠ＤＯＡ＋∠ＡＯＣ＝１８０度
三角形の内角の和は、１８０度だから
∠ＤＯＡ＝∠ＯＣＡ＋∠ＯＡＣ
∠ＤＯＡ＝２∠ＯＣＡ
同様に
∠ＢＯＤ＝２∠ＯＣＢ
したがって、
∠ＡＣＢ＝∠ＯＣＡ＋∠ＯＣＢ
＝（∠ＤＯＡ＋∠ＢＯＤ）/２
＝∠ＡＯＣ/２
∠ＡＯＣは、∠ＡＢＣの2倍になります。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時21分
「円の接線」
現在の平面幾何学を築いたのは、ユークリッドです。
ユークリッドは、三角形について
①３辺が等しい場合
②２辺とその辺のなす１角が等しい場合
③１辺とその両端の角が等しい場合
から、「ユークリッドの公理」を導きました。
そのなかからの問題です。
下の図の円の接線m,nが等しいことを示してください。
「ちょっと解説」
円Ｏの中心点を通り、円周と交わる線分ＡＢを円Ｏの直径といいます。
また、円周上の１点Ｃだけに接する直線を接線と言います。
円の接点から円の中心までの距離を半径といいます。
半径は、直径の半分の長さです。また、直線ですから、接点と中心点は最小の距離にあります。
そのため、円の接線は、円の中心から下ろした垂線に対して直角になります。
円Ｏの円周上の点Ｃに接する直線をＤＥとします。
∠ＯＦＣ＋∠ＣＯＦ＝１８０度－∠ＯＣＦ＝９０度
∠ＯＦＣ＋∠ＣＯＦ＋∠ＯＣＦ＝１８０度＝９０度＋∠ＯＣＦ
より
∠ＯＣＦ＝９０度
となり、直線ＤＥ上に円Ｏに接する点はＣ以外ないことになります。
直線ＤＥとＯＣは、垂直に交わることを意味します。
詳しくは、円の方程式の微分（小さな幅での傾き）と接点から円の中心点をを結ぶ直線の傾きが
直交するするのが、正しい解法だと思います。
しかし、ここでは背理法によって円の接線を説明しました。
問題にもどって、三角形ＯＰＲと三角形ＯＱＲについて
ＰＲ，ＱＲが点Ｐ，Ｑの接線だから
∠ＯＰＲ＝∠ＯＱＲ＝９０度 （１）
円Ｏの半径だから
線分ＯＰ＝線分ＯＱ （２）
線分ＯＲは共通 （３）
（１）から（３）は、２辺と１つの角が直角であることを示しています。
そこで、∠ＯＰＲが直角で、ＯＰとＯＲが既知とすると
m＝（ＯＲ2－ＯＰ2)0.5
同様に
n＝（ＯＲ2－ＯＱ2)0.5
となります。
（２）より、ＯＰ＝ＯＱ だからm=nとなります。
三角形ＯＰＲと三角形ＯＱＲが合同であることを証明するためには
２辺とその青だの角が等しいことを証明しなければなりませんが、
直角三角形の場合は、１つの角が直角であることと、２辺が等しいことを証明すればいいことになります。
つまり、合同条件が緩和されているといえます。
したがって m＝n
となります。
「ユークリッドの原本」
ユークリッドの書いた「原本」とは、数学の考え方を網羅して、
１つ１つの定理に完全な証明を与えたものです。
ある日、国王がユークリッドにむかって「原本」がむずかしすぎるといいました。
それに対して、ユークリッドは、「幾何学に王道はありません」と答えたそうです。
２０００年以上前に書かれた本ですが、いまでも数学のもっともすぐれた入門書です。
ユークリッドの「原本」は、１４６４年に印刷物として出版されてから１０００版以上、版を重ねた
ベストセラーです。
みなさんも、ユークリッドに挑戦してみてください。
難問に挑戦するのもひとつの勉強法かもしれませんが、
ひとつひとつ積み重ねていくのが、数学の王道だと思います。
作者:thaler
更新日:2008年10月31日 11時20分
タカラトミーの新商品！謎の未確認飛行物体「QFO」をご存知ですか？
タカラトミーの新商品！謎の未確認飛行物体「QFO」をご存知ですか？
タカラトミーのQFOサイズは、10センチメートル程度。
QFOはタカラトミーによって開発された。
QFOは、かなり自由な動きをしていた。
従来のヘリは、ドラえもんのタケコブターを除けば
エンジンを装着したラジコンヘリで、
爆音をとどろかせながら、農薬散布をしていた。
それが、室内で飛行できる！
これは、すごい！ほしい！QFO！
タカラトミーの新商品！謎の未確認飛行物体「QFO」
Qシリーズは、「チョロQ」から始まり、
「Qステア」「QSKY」「ヘリQ」など地上から空ヘと幅広い遊びを。
そして今回発表された新たなQシリーズ「QFO」は未確認飛行物体・UFO型です。
操作は簡単。
付属のリモコンで操作するだけで、
円盤型の全長65mmのコンパクトな本体が、回転しながらフワフワと宙を舞います。
その飛んでいる姿は、まさにUFOそのもの！！
東京おもちゃショー2008では、ブース内でひときわ観客を集めた商品です。
大人が夢中になって楽しめる「QFO」ぜひサイトでもチェックしてみて下さい。
「QFO」のサイトはこちら>>http://www.qfo.jp/
「プレスブログからの情報です」
作者:thaler
更新日:2008年10月30日 12時12分
PS3・Xbox360用クライムアクションゲーム「Saints Row2」のCMに注目！
PS3・Xbox360用クライムアクションゲーム「Saints Row2」
THQジャパンの『Saints Row2』、2007年に発売された『Saints Row』の続編です。
舞台は前作から十数年を経た架空の都市・スティルウォーター！！
前作で死んだと思われた主人公が再び目を覚まし、
巨大企業とギャングに奪われた街を取り戻していく、クライムアクションゲームです。
アクションは、バイオハザード、ボーンIDをおもわせる
臨場感のあるものです。
さらに、オンライン上の仲間と一緒に
巨大企業、ギャングと戦っていくアクションゲームです。
『Saints Row2』には前作を超えた特徴が！！
<特徴>
【協力】
オンラインの向こう側の仲間と一緒に進めていくことが可能となり、柔軟なプレイスタイルとなりました。
【整形】
プレイヤーキャラクターをカスタマイズ機能がパワーアップ。
公式HPは>>http://gamesites.thqgame.jp/products/SaintsRow2/
「プレスブログからの情報です」
作者:thaler
更新日:2008年10月30日 11時37分